Venuspassagen

Inledning

Venuspassagen 1761 och 1769 utnyttjades för att beräkna avståndet till solen och till de olika planeterna. Innan dess kände man endast till de relativa avstånden i solsystemet d.v.s. t.ex. hur stor Venus omloppsbana kring solen var i förhållande till Jordens. Men man visste således ej det exakta värdet på t.ex. avståndet till solen från jorden. Den kände astronomen Halley, som upptäckte och namngav Halleys komet, visade redan i början av 1700-talet hur en Venuspassage skulle kunna användas för att beräkna avståndet till solen. Själv hann han dock inte uppleva passagerna under sin livstid.

Beräkning av avstånd med hjälp av parallax

För att beräkna avståndet till ett objekt kan man använda den så kallade parallaxmetoden. Denna innebär att man mäter vinkeln till objektet från två olika positioner med känt avstånd mellan positionerna. Se figur nedan.

 

 

 

 

Fig 1

D är avståndet mellan observationspunkterna och den svarta pricken till höger objektet som man vill mäta avståndet till. Vidare med lämplig apparatur så mäter man upp vinklarna a och b då man siktar mot objektet från de två observationspunkterna. Detta kan t.ex. göras med teodolit. Då kan c beräknas som 180-a-b. Om c är en liten vinkel, uttryckt i radianer, så kan avståndet L beräknas som

L=D/c

Antag t.ex. att D är 2 m och att c är 1 grad, dvs. 0.0174 radianer. Då blir L = 115 m.

Vinkeln c kallas för objektets parallax och D för parallaxens bas.

På samma sätt brukar man tala om solparallaxen, om objektet i figuren är solen och basen utgöres av jordens radie. Det är då uppenbart att om man känner till solparallaxen så kan man också beräkna avståndet till solen utgående från jordklotets radie.

Beräkning av solparallaxen med hjälp av Venuspassagen

Som tidigare har nämnts, så kände man till förhållandet mellan Venus avstånd till solen och Jordens avstånd till solen, då båda planeterna var i linje med solen. Se figur nedan:

 

 

 

 

 

Fig 2

LV är Venus avstånd till solen och LJ Jordens. Man kände till Keplers tredje lag som ger ett samband mellan planeters omloppstid och radierna på deras omloppsbanor. Lagen säger att kvadraten på omloppstiderna är proportionell mot kubiken på radierna. Eftersom man kände till omloppstiden för både Venus och Jorden, så kunde man alltså också härleda förhållandet mellan deras avstånd till solen, dvs. LV och LJ. Det visade sig att LV/LJ = 0.72.

För att räkna ut solparallaxen så utnyttjades nu att då Venus passerar framför solskivan så följer den skenbart två olika spår, sett från två olika observationspunkter på Jorden enligt figuren nedan:

   

 

 

Fig 3

Vi kan nu rita följande figur, där vinklarna är överdrivna, för att beräkna solparallaxen:

 

 

 

 

 

 

 

Fig 4

D är avståndet mellan observationspunkterna på Jorden medan A är avståndet mellan spåren på solskivan. Vinkeln b är solparallaxen som skall bestämmas. Vinkeln a är den observationsvinkel som motsvarar avståndet A på solskivan, och som är den storhet som kan mätas upp och som vi således antar är känd. Vinkeln c är ur figuren:

c = a+b

Eftersom vinklarna a och b och således även c i verkligheten är mycket små, så kan vi approximativt skriva:

A = LJ*a

A = LV*c

Om vi sätter LV/LJ = M = 0.72, se ovan, så får vi från dessa tre samband följande:

M*(a+b) = a

Vilket ger: b = a * (1-M)/M  dvs. b = 0.39 a                                                                                          (A)

Det innebär således att om vinkeln a är känd så kan man även beräkna solparallaxen b med basen D och då också avståndet LJ till solen, dvs.

LJ = D/b                                                                                                                                                              (B)

Beräkning av vinkeln a

Det visar sig att i verkligheten så kommer de båda spåren av Venus på solskivan, sådana de observeras från två olika punkter på Jorden, att ligga ganska nära varandra, som framgår av nedanstående figur:

 

Fig 5

Man skulle kunna tänka sig att man på de olika observationsplatserna ritade in spåret på solskivan, så som man observerade det och att man sedan lade ihop de två figurerna. Då skulle man kunna få en uppfattning om avståndet mellan spåren i förhållande till solskivans diameter, eller rättare synvinkel, vilken ju var känd. Detta skulle dock i praktiken vara alltför onoggrant för att ge ett tillförlitligt värde på avståndet A eller rättare dess synvinkel a. Istället baseras beräkningen av a på uppmätning av den tid det tar för Venus att passera solskivan längs de båda spåren. Eftersom passagetiden är ganska lång, upp emot sex timmar, så kan skillnaden i passagetid uppmätas med ganska god noggrannhet. I det följande resonemanget antar vi att Venus ses som endast en punkt, som förflyttar sig.

 

 

 

 

 

 

 

Fig 6

A betecknar avståndet mellan spåren, R solens radie samt H avståndet från det undre spåret till solcentrum. L betecknar det undre spårets längd medan det övre spårets längd är L+DL. e betecknar vinkeln enligt figur dvs. motsvarande halva undre spåret. Motsvarande vinkel för det övre spåret är e+de.

Tiden det tar för Venus att passera längs de båda spåren är T för det undre och T+DT för det övre. Eftersom Venus rör sig med samma hastighet V längs de båda spåren så gäller tydligen:

L = V*T                                                                                                                                                               (1)

L+DL = V*(T+DT)                                                                                                                                            (2)

Eftersom de båda spåren är kordor inskrivna i en cirkel, så kan vi använda trigonometri för att finna ett samband mellan DT (skillnaden i tid) och A (avståndet mellan spåren).

Detta sker i två steg där vi först i steg 1 beräknar A som funktion av vinkeln de, dvs. vinkelskillnaden mellan de två kordorna. Sedan i steg 2 beräknas de som funktion av DT, dvs. tidsskillnaden mellan de två passagerna.

Steg 1

H = R*cose                                                                                                                                                        (3)

H-A = R*cos(e+de) = R*(cose * cosde – sine * sinde) (enligt känd trigonometrisk formel)

Eftersom vinkeln de är liten kan vi approximativt sätt cosde = 1 och får då med hjälp av (3):

A = R * sine * sinde                                                                                                                                       (4)

Steg 2

L = 2R * sine = V*T (enligt (1))                                                                                                                  (5)

L+DL = 2R * sin(e+de) = V*(T+DT) (enligt (2))                                                                                    (6)

Men 2R * sin(e+de) = 2R * (sine * cosde + cose * sinde) enligt känd trigonometrisk formel (7)

Och eftersom de är en liten vinkel kan vi approximativt sätta cosde = 1 enligt ovan och får då:

2R * sine + 2R * cose * sinde = V*T + V*DT enligt (6) och (7)                                                      (8)

Med (5) ger detta:

V*DT = 2R * cose * sinde                                                                                                                            (8)

Med hjälp av (5) kan V och R elimineras och vi får:

DT/T = (cose * sinde)/sine                                                                                                                         (9)

Och om sinde elimineras med hjälp av (4) så får vi slutligen:

A = R * (sin2e/cose) * DT/T                                                                                                                        (10)

Där A alltså är det sökta avståndet mellan de båda spåren. DT är skillnaden i tid och T är den uppmätta tiden för den undre passagen. R är solens radie uttryckt som en synvinkel och e är halva vinkeln för kordan. Observera att både R och e är ganska lätta mäta upp genom observation, och de behöver ej vara särskilt exakta för att ändå ge ett bra värde på A. Eftersom R är uttryckt som ett vinkelvärde så gäller detta även för A, vilken alltså då motsvarar vinkeln a i figur 4.

Därigenom kan alltså solparallaxen beräknas, baserat på basen D, och därmed också avståndet till solen.

Exempel på beräkning

Denna beräkning bygger på en observation av en Venuspassage där följande värden uppmättes:

R, dvs. solens radie, har uppmätts till 15.25 bågminuter.
E, dvs. halva kordavinkeln, har uppmätts till 46.62 grader.
T, dvs. tiden för den undre passagen, har uppmätts till 19790.5 sek.
DT, dvs. tidsskillnaden i passagerna, har uppmätts till 529 sek.
Det avstånd D, mellan platserna som använts på Jorden för uppmätningarna, är 5842 km.
Enligt (10) ovan får vi då följande värde på a, som en bågvinkel:

a = 15.25 * 0,7691 * 0,02673 = 0,31351 bågminut.

Varför b, där b är solparallaxen med basen D, enligt (A) är

b = 0.31351 * 0.39 = 0.1222 min = 0.0000355 rad

Enligt (B) är Jordens avstånd till solen LJ:

LJ = D/b.

Då blir alltså

LJ = 5842/0.0000355 km = 164 milj. km vilket är ganska nära det riktiga 150 milj. km.