Astronomiska ur

 

Inledning

Under medeltiden byggdes flera astronomiska ur på olika platser i Europa. Några kända är t.ex. uret i Prag från 1410, fig. 1, och uret i Lunds domkyrka från sent 1300-tal, fig. 2. Medan det förra i stort sett fortfarande är original så är det astronomiska uret i Lund en replik, som färdigställdes så sent som 1923.

Praga_0003.jpg      Lunds_astronomiska_ur-2.jpg

Fig. 1 Uret i Prag.                                                                                  Fig. 2 Uret i Lund.

Gemensamt för dessa ur är att de samtidigt visar sann soltid, solens position på ekliptikan, solens upp och nedgång samt månens position på ekliptikan och dess upp och nedgång. Dessutom visas sann stjärntid.

Visningen av dessa storheter sker med hjälp av tre visare nämligen solvisare eller timvisare, stjärnvisare samt månvisare. Visningen är vidare baserad på den bild av universum som var förhärskande under medeltiden, dvs. den s.k. Ptolomaioska världsbilden. Denna förutsatte att jorden låg fix och orörlig i centrum av världsalltet, medan solen, månen, planeterna och stjärnorna roterade runt jorden. Utöver solen och månen kände man till fem planeter, Merkurius, Venus, Mars, Jupiter och Saturnus, dvs. de som man kan se med blotta ögat. De astronomiska uren visade dock normalt inte planeternas lägen på himlavalvet utan, som sagt, endast läget på solen, månen och stjärnbilderna på ekliptikan.  I det fortsatta resonemanget använder vi oss av denna världsbild med jorden i centrum. Eftersom alla rörelser är relativa så fungerar denna modell även om det i verkligheten är solen som befinner sig i centrum.

Ekliptikan

Ekliptikan är det band på himlavalvet inom vilket solen, månen och planeterna tycks röra sig. Det kallas ekliptikan eftersom mån eller solförmörkelser (eclipse) alltid inträffar någonstans på ekliptikan. De stjärnbilder som ekliptikan korsar på sin väg runt himmelssfärnen kallas Zodiaken, vilket betyder djurkretsen, detta på grund av att de flesta av dessa stjärnbilder föreställer djur. De är tolv till antalet och man brukar börja en uppräkning med den stjärnbild, Väduren, som solen går in i vid vårdagjämnings-punkten.  Stjärnbilderna är således:
Väduren, Oxen, Tvillingarna, Kräftan, Lejonet, Jungfrun, Vågen, Skorpionen, Skytten, Stenbocken, Vattumannen och Fiskarna.

Man tänker sig då att varje sådan stjärnbild upptar en tolftedel av varvet runt himmelssfären, dvs. 30 grader.  Nu hör till saken att i vår tid så stämmer det inte riktigt att solen befinner sig i dessa stjärnbilder under de angivna perioderna t.ex. för Väduren från 21 mars till ca 21 april. Det stämde någorlunda under medeltiden, men har ändrats under seklernas gång på grund av jordens s.k. precession, dvs. att jordaxelns orientering sakta ändras.

Om vi nu håller oss till den medeltida världsbilden och den Julianska kalendern, så roterar alltså solen runt jorden på ett år, dvs ca 365,25 dagar. På denna tid har den då också förflyttat sig genom alla stjärnbilderna på ekliptikan och återkommit till sitt utgångsläge. Men samtidigt med denna rörelse så roterar hela himmelssfären med alla sina objekt, dvs. sol, måne, planeter och stjärnor runt jorden på ett dygn. Det vi menar med ett dygn är den tid det tar för solen att gå runt jorden och komma tillbaks till samma läge, t.ex. sitt högsta läge mitt på dagen. Detta kallas kulmination eller meridianpassage. Man kan även mäta den tid det tar för en viss stjärna, t.ex. stjärnbilden Väduren,  att komma tillbaks till samma läge på himlen. Man finner då att detta s.k. stjärndygn är något kortare än soldygnet. Det beror på att solen samtidigt som den roterar ett varv runt jorden på ett dygn också rör sig i sin bana längs med ekliptikan, vilket innebär att när stjärnan rört sig ett varv runt så har solen fortfarande en bit kvar, dvs. så långt som den gått i sin bana under ett dygn. Det innebär att stjärndygnet är något kortare än soldygnet, nämligen så att det på ett år dvs. 365.25 soldygn går 366.25 stjärndygn. Även månen rör sig runt jorden men fullbordar ett varv på ca en månad, vilket betyder att måndygnet blir något längre än soldygnet, se fig. 3 nedan.


 

 

Första observationen                                                                            Andra observationen                                                                                          

Fig 3. Ekliptikan där solen rör sig motsols, sett från jorden.

Vid första observationen står solen, månen och stjärnan mitt för varandras. Vid andra observationen, efter ett stjärndygn, står stjärnan  på samma plats men solen har en bit kvar och månen ännu längre.  Medan ett soldygn är 24 timmar så är ett stjärndygn 23 timmar, 56 minuter och 4.09 sekunder och ett måndygn är 24 timmar, 50 minuter och 28.33 sekunder.

Himmelssfären

Figur 4 visar himmelssfären med jorden i centrum. Himmelssfären med alla sina objekt, sol, måne och stjärnor roterar runt jorden. I figuren visas rotationsaxeln som en vertikal linje. På himmelssfären syns ekliptikan inritad som ett lutande band, där solen alltså rör sig åt höger på bilden i sin bana runt jorden. Hela himmelssfären roterar åt vänster  ett varv per dygn enligt pilen.

 

 

 

Figur 4 Himmelssfären

På bilden syns även den s.k. himmelsekvatorn, dvs. det plan som går genom jordens ekvator. Där ekliptikan skär himmelsekvatorn ligger vårdagjämningspunkten, markerad med V. Ekliptikan lutar 23.5 grader mot ekvatorplanet.

På sin väg runt ekliptikan passerar solen de olika stjärnbilderna i ekliptikan, såsom tidigare förklarats. Varje sådan bild upptar alltså 30 grader av totala banan. I bilden visas läget av väduren, som solen går in i vid vårdagjämningspunkten. På sin översta punkt i banan tangerar ekliptikan kräftans vändkrets, nämligen i den punkt där solen går in i kräftans stjärnbild.  Kräftans vändkrets på himmelssfären motsvarar kräftans vändkrets på jordklotet, dvs. vinkeln mot ekvatorn respektive himmelsekvatorn är densamma.

I figuren är även månen inritad på sin bana runt ekliptikan. Denna rör sig runt ekliptikan mycket snabbare än solen och gör ett komplett varv på ca en månad, närmre bestämt på 27.3 dygn. Detta kallas en siderisk månad och betyder att månen står på samma ställe på ekliptikan efter en siderisk månad. Vanligtvis menar man dock med ett månvarv tiden mellan t.ex. två nymånar, dvs. då måne och sol sammanfaller på ekliptikan. På grund av solens rörelse under en månad blir denna period något längre, nämligen 29.5 dygn. Detta kallas en synodisk månad.

Figur 4 visar de tre storheter som normalt visas på ett medeltida astronomiskt ur, nämligen solens, månens och vårdagjämningspunktens (V:s) positioner på himlen, i förhållande till observationsortens meridian och horisont. Meridianen är nord-syd- linjen genom orten och där t.ex. solen kulminerar kl. 12 på dagen. V:s position anger den s.k. stjärntiden, med början då V passerar meridianen, vilket ju för övrigt även gäller för solen.

Problemet för de medeltida klockkonstruktörerna var nu att överföra den tredimensionella himmelssfären ovan till en platt urtavla.

Urtavlan

För att kunna plana ut himmelssfären till en platt urtavla så använde man sig av en s.k. stereografisk projektion av sfären mot en plan yta. Tekniken bakom en sådan projektion kan illustreras av att man sätter en lampa i himmelssfärens nordpol och registrerar vilka skuggor som kommer att kastas av de olika objekten på himmelssfären, dvs. ekliptikan, himmelsekvatorn, vändkretsarna samt solen och månen. Se figur 5.

                                                                                                                                         

Figur 5.

I figuren syns projektionerna av kräftans vändkrets samt av ekliptikan. En egenskap hos den här typen av projektioner är att cirklar på sfären, oberoende av om det är storcirklar eller småcirklar och av deras placering, är att projektionerna kommer också att vara cirklar. Figur 6 nedan visar hur projektionen kommer att se ut sett uppifrån.

 

 

 

 

Fig. 6. Där A är projektionen av kräftans vändkrets, C är projektionen av Stenbockens vändkrets och B projektionen av Ekliptikan.

Man kan enkelt visa att om himmelssfärens radie är R och ekliptikans lutning är α=23.5⁰ så är

A:s diameter = 4Rcosα/(1-sinα) = 6.10R

B:s diameter = 4R/cosα = 4.36R

C:s diameter = 4Rcosα/(1+sinα) = 2.62R

C:s radie = 1.31R

B, alltså Ekliptikan, roterar medsols runt jorden i centrum med ett varv på  ett stjärndygn alltså 23 timmar, 56 minuter och 4.09 sekunder.

Solen roterar samtidigt medsols runt jorden på ett soldygn, alltså 24 timmar, men håller sig hela tiden på ekliptikan. Det innebär alltså att eftersom ekliptikan roterar snabbare så kommer solen att röra sig motsols relativt ekliptikan och fullgöra ett varv på ett år.

Månen roterar samtidigt medsols runt jorden på ett måndygn, alltså 24 timmar, 50 minuter och 28.33 sekunder. Samma gäller för månen att den kommer att röra sig motsols relativt ekliptikan.

De räta linjerna delar ekliptikan i fyra delar där varje del innehåller tre stjärnbilder. V markerar vårdagjämningspunkten, vilken samtidigt visar stjärntiden.

Vi har nu en plan ”urtavla” med de tre visarna på det astronomiska uret, dvs. solen, månen och stjärnvisaren/ekliptikan. Det som återstår är att konstruera horisonten, så man kan se när solen och månen går upp och ned.

Horisonten

Medan det som hittills konstruerats på urtavlan inklusive visarna och deras rörelser är de samma oberoende av var på jorden uret befinner sig, så kommer representation av horisonten att vara olika beroende på ortens latitud, dvs. hur långt från ekvatorn den befinner sig. Man kan tänka sig horisonten som ett plan vilket delar himmelssfären i två lika stora delar eller halvklot. Den del som ligger ovanför planet är det som man kan se från orten ifråga medan det som ligger under alltså ligger under horisonten och kan ej ses.  Vidare delas horisontplanet i två delar av meridianen som alltså representerar nord-syd linjen. Prag, där uret enligt figur 1 befinner sig, ligger ungefär på latituden 49⁰. Om vi ritar in detta i himmelssfären får vi följande figur, fig.7, där horisontplanet ses rakt från sidan och meridianen ligger i papperets plan åt vänster.

 

 

 

Fig. 7 Himmelssfären med horisontplanet för Prag, samt dess projektion på ”urtavlan”

Som tidigare påpekats så bildar även projektionen av horisonten en cirkel. Man kan enkelt visa att diametern = 4R/cosβ = 6.10R
och att avståndet a = 2Rcosβ/(1+sinβ) = 0.75R
där β = latituden 49⁰.

 

Urverket

Som tidigare påpekats så är det tre visare som skall drivas av urverket, solvisaren, månvisaren och stjärnvisaren. Dessa visare skall rotera ett varv på följande tider:

Solvisaren                     24 tim = 86400 sekunder

Månvisaren                  24 timmar, 50 minuter och 28.33 sek = 89428 sekunder

Stjärnvisaren               23 timmar, 56 minuter och 4.09 sekunder = 86164 sekunder

Antag nu att vi har ett kugghjul med 60 kuggar som driver tre olika kugghjul med lika många kuggar som antal sekunder ovan. Om det lilla kugghjulet då roterar ett varv per minut så kommer de tre större kugghjulen att rotera ett varv på exakt antal sekunder. 

 

Resultat:

 

 

Figur 8 visar den resulterande urtavlan.

Det ljusbruna fältet representerar det som är under horisonten. Den mörkblå cirkeln motsvarar stenbockens vändkrets medan den yttre cirkeln motsvarar kräftans vändkrets. Cirkeln mellan dessa motsvarar ekvatorn. Ekliptikan visas som den breda svarta cirkeln, vilken ligger excentriskt i förhållande till de övriga. Den horistontella linjen motsvarar meridianen och då solen befinner sig på denna linje så är klockan 12 eller 24. Den vertikala linjen motsvarar öst-väst linjen. I figuren befinner sig månen nära höstdagjämningspunkten och är på väg ned. Som synes går den då ned under horisonten nära riktning väst. Solen befinner sig under horisonten på morgonkulan och är i ett läge på ekliptikan som motsvarar våren. Då solen befinner sig exakt i vårdagjämningspunkten V så går den upp i öst klockan 6.

Nedan visas den verkliga urtavlan på uret i Prag samt på uret i Lund.

Schema_Orloj_pragueorlojhzenilc.jpg

 

Lund4.jpg