Månens avstånd till jorden ökar

Det är känt att månens avstånd till jorden ökar med nästan 4 cm per år. Detta beror på den s.k. tidvatteneffekten. Denna medför att jorden i sin rotation bromsas något men å andra sidan ger månen lite extra skjuts och därmed kommer dess hastighet och även avstånd att öka.

Men hur kan det komma sig att avståndet till månen ökar om dess hastighet ökar, vilket den ju gör eftersom tidvatteneffekten ger den extra skjuts.

Den vanliga formeln för en satellit, dvs. även för månen är ju

R = K/v2  (se 3 nedan)

där R är omloppsbanans radie och v banhastigheten. Dvs. avståndet minskar då hastigheten ökar.

Men även följande gäller: Om månen får lite högre hastighet så ökar dess kinetiska energi och därmed dess totala energi E som är summan av kinetisk energi Ek och potentiell energi Ep. Men varje bana motsvarar ett visst värde på E enligt formeln

E = K1 –K2/R (se 8 nedan)

Där K1 och K2 är konstanter. Så ett högre värde på E motsvarar ett större värde på R.

Detta gör att den flyttar sig längre ut från jorden och går in i en annan stabil bana. Men samtidigt minskar då den kinetiska energin, medan den potentiella ökar med resultaten att den hamnar i en bana längre ut som motsvara det högre värdet på E. Men då har den alltså i slutändan fått en lägre banhastighet.

Detta kan härledas enligt nedan:

Härledning av formler

Gravitationskraften på en satellit eller månen i omloppsbana runt jorden kan skrivas:

Fg = (GMm)/R2                            (1)

Där G = gravitationskonstanten, M = jordens massa, m = satellitens massa, R = omloppsbanans radie.

Den utåtriktade centrifugalkraften Fc som verkar på satelliten kan skrivas:

Fc = mv2/R                                     (2)

Där v är banhastigheten.

Dessa krafter skall balansera varandra i omloppsbanan, varför vi får:

Fg = Fc  vilket medför R = K/v2                           (3)

Där K = GM.

För den kinetiska energin Ek gäller 

Ek = ½ mv2                                     (4)

Men med hjälp av (3) kan detta då skrivas:

Ek = mK /2R                                   (5)

Den potentiella energin Ep borde man kunna räkna ut som det arbete som åtgår för att lyfta satelliten från en nivå till en annan, t.ex. från jordytan motsvarande radien RJ till omloppsbanan med radien R.  Vi sätter alltså godtyckligt potentiella energin till noll vid jordytan. Arbete är kraft * väg, där kraften är gravitationskraften Fg = (Km)/r2.  Vi får då följande integral:

Ep = ʃ Fg*dr från RJ till R  eller

Ep =mK * ʃ  dr/r2 från RJ till R  (6)

Löser vi integralen får vi:

Ep = mK * (1/RJ – 1/R)                                            (7)

Nu kan totala energin E skrivas som:

E = Ek + Ep = mK(1/2R +1/RJ – 1/R) = mK/RJ - mK/2R            (8)

Vi ser alltså att E är mK/2RJ vid jordytan, vilket stämmer med (5), och att den sedan växer upp till värdet mK/RJ.

Observera att om vi sätter R= i (7) så får vi arbetet som krävs för att föra en kropp med massan m oändligt långt bort från jorden dvs mK/RJ. Då blir flykthastigheten vf , med hjälp av (4):

½ mvf2 = mK/RJ                                                         (9)

eller

vf = √( 2K/RJ)                                                                                             (10)  (dvs oberoende av kroppens egen massa)

där K = GM  = 6.7 10-11 Nm2/kg2  * 6.0 1024 kg = 40.2 1013 Nm2/kg

RJ = 6.37 106 m

Eftersom N är det samma som kgm/s2 så får vi alltså:

vf = √ (126 106 m2/s2) = 11.2 m/s                        (11)

 

Slutsats

Så det vi visat är vad ni påpekade dvs. att tidvatteneffekten på månen ger den en momentant högre hastighet, vilket ger totalt högre energi, vilket i sin tur medför att den hamnar i en bana som befinner sig längre ut och därmed med en lägre hastighet.

Men det som fortfarande är lite konstigt är att en inledande ökning av hastigheten i slutändan har resulterat i en lägre hastighet, dock i en yttre bana. En förklaring kan vara följande:

Satellitbanor vid hastighetsändring

Antag att vi har en cirkulär satellitbana enligt figur nedan (blå) där satelliten rör sig med hastigheten v1.  Därefter ger man satelliten en knuff, t.ex. med en raket eller i månens fall med tidvatteneffekt så att den får en högre hastighet v2. Då, vad jag förstår, så kommer den att anta en elliptisk bana (röd) istället enligt nedan. Hastigheten i perigeum är då v2, medan den i apogeum kommer att vara lägre dvs v3. Om satelliten istället hade rört sig i en cirkulär bana (grön) motsvarande apogeum så skulle hastigheten varit v4, där v4 är större än v3. Detta kan åstadkommas genom att ge satelliten en motsvarande hastighetsökning i apogeum till v4. Det gäller alltså att v2>v1>v4>v3. Så att trots att man gjort hastighetsökningar både i v2>v1 och i v4>v3 så har man i sluthastigheten v4 en hastighetsminskning jämfört med begynnelsevärdet v1.

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

                                                                                                                                                                        

 

 

Tidvattenproblemet

En annan fråga  rör frågan om varför det är två floder per dygn och inte bara en. En flod eller utbuktning mot månen men även en på motsatt sida, dvs. på den sida som är vänd från månen. En förklaring kan vara att ” den del av jorden som ligger närmast månen påverkas mer än den del som ligger på motsatt sida och därför kommer det lättrörliga vattnet att dras ut åt bägge hållen”. Men även om månens dragningskraft är mindre på ”frånsidan” så är den ju ändå riktad mot månen, dvs. inåt mot jorden, så det borde ju då skapas en grop och inte en bula. Eller?

Det finns två olika förklaringar till fenomenet, men det är inte helt klarlagt vilken förklaring som är riktig eller om båda samverkar.

Förklaring 1

Eftersom jord och måne bildar ett roterande par så roterar de kring en gemensam tyngdpunkt som är förskjuten i förhållande till jordens medelpunkt och i månens riktning. Denna rotationspunkt ligger närmre jordens yta men fortfarande inom jordklotet. Det innebär att jorden roterar runt denna punkt med ett varv per månad. Eftersom punkter på ”månsidan”  då har mindre rotationsradie än de på ”frånsidan” så blir centrifugalkraften större på frånsidan enligt formeln

Fc = mω2r

Enligt denna teori så skulle alltså centrifugalkraften på frånsidan vara större än månens dragningskraft och alltså ge en ”bula” även på frånsidan.

Förklaring 2

Denna utgår från att en kropp som befinner sig i ett gravitationsfält som varierar med avståndet, vilket ju onekligen gravitationen från månen gör, kommer att deformeras så att den dras ut på längden. En boll skulle alltså anta formen av en amerikansk fotboll. Men detta gäller ju inte för en kropp som är i vila i gravitationsfältet, bara för kroppar som faller fritt. För om kroppen faller fritt så kommer framsidan att falla snabbare än baksidan, eftersom den påverkas av en starkare kraft. Tröghetskraften gör då att baksidan liksom inte ”hänger med” i framsidans acceleration. Men som sagt detta gäller endast för kroppar i fritt fall. Så frågan är om man i detta fall kan anse att jorden befinner sig i fritt fall i månens gravitationsfält? Och det kanske man kan, eftersom man ju brukar säga att satelliter i omloppsbanor befinner sig i fritt fall även om de hela tiden befinner sig på samma höjd över jorden.

 Sned måne

Ytterligare en fråga  är den sneda eller lutande måne som man kan se vid halvmåne. Om man tittar på halvmånen då den är i tilltagande fas så brukar det se ut som i figuren nedan t.ex på eftermiddagen:

 

 

 

 

 

  

 

 

 


 

 

 

Halvmånens belysta sida pekar alltså inte mot solen som man skulle tro utan mot en punkt ovanför solen.

Själv menar jag att detta är en synvilla och att månen i verkligheten pekar rakt mot solen. Förklaringen skulle då vara att både månen och solen befinner sig på ekliptikan (eller i alla fall ungefär) och att solens strålar alltså följer ekliptikan. Men ekliptikan följer en tänkt båge över himlen som i bilden nedan. Så solens strålar möter månen i rät vinkel som visas i figuren. Ekliptikan är ju en storcirkel över himlavalvet och alltså egentligen en rak linje på samma sätt som en storcirkel som går genom zenit. Det är väl snarare horisonten som borde vara krökt, men vi är så vana vid att denna är rak så vi uppfattar storcirkeln, i detta fallet ekliptikan, som krökt istället.